Article | 13/02/2020
Les harmoniques sphériques
13/02/2020
Résumé
Description unique des fonctions définies sur la sphère par une somme d'harmoniques sphériques, un équivalent des séries de Fourier pour les fonctions définies sur le cercle. Exemple de la reconstruction de la topographie terrestre.
Table des matières
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Les harmoniques sphériques, des fonctions mathématiques
Les harmoniques sphériques sont des fonctions mathématiques très utilisées en physique, notamment en mécanique quantique et en géophysique.
Soient , , les coordonnées sphériques : est le rayon, la colatitude, la longitude. Les harmoniques sphériques, notées , sont des fonctions des deux coordonnées angulaires. L’indice et l’exposant sont deux entiers appelés le degré et l’ordre de l’harmonique. Ils prennent les valeurs , et .
Les oscillent en et en . Elles s’annulent sur cercles méridiens, et parallèles. Une harmonique de degré a ainsi lignes de nœuds ( cercles méridiens et parallèles). L’échelle spatiale typique de variation d’une harmonique diminue en , et est commune à toutes les harmoniques d'un même degré . On appelle cela communément la longueur d’onde, notée . Sur une sphère de rayon , et pour , elle vaut :
- .
Par exemple, pour représenter une Terre aplatie aux pôles, on utilise , qui s’annule uniquement sur deux parallèles :
- .
La première harmonique est constante : .
Les représentations ci-après des harmoniques sphériques sont des projections rectangulaires des latitudes/longitudes, selon une projection cylindrique équidistante. Les valeurs angulaires y sont données en degrés (0 à 180 pour la colatitude, 0 à 360 pour la longitude).
Les harmoniques sphériques de degré 0 à 10 et de tout ordre, ainsi que les harmoniques de degré 30, 100, 600 et 999 jusqu’à l'ordre 10 vous sont proposées (représentations en carte comme ci-dessus) au téléchargement dans le fichier compressé harmoniques-spheriques-Ylm.zip (chaque harmonique correspond au fichier FC_SHl_m.png). Ces fichiers permettent de visualiser au total 205 harmoniques sphériques et, par exemple, de compléter jusqu'au degré 10 () une figure qui propose une vue de toutes les fonctions jusqu'à l'ordre 4, comparable à la figure ci-dessous (qui s’arrête à l’ordre 3).
Un autre mode de représentation, sur sphère, est aussi proposé.
Les harmoniques sphériques individuelles de degré 0 à 5 et de tout ordre sont disponibles au téléchargement dans le fichier compressé harmoniques-spheriques-Ylms.zip (chaque harmonique correspond au fichier SPl_m.png). Ces fichiers permettent de visualiser les harmoniques individuellement et, par exemple, de compléter jusqu'à l'ordre 5 une figure allant jusqu’à l’ordre 4, comparable à la figure ci-dessous qui s’arrête à l’ordre 3.
Une version de meilleur résolution des figures 9 et 11 est proposée au téléchargement : harmoniques-spheriques.pdf.
Décomposition unique d'une fonction en harmoniques sphériques
La propriété la plus importante des harmoniques sphériques est que toute fonction définie sur la sphère peut se décomposer de façon unique sous la forme d’une somme d’harmoniques sphériques :
- (éq. 1).
Les forment ainsi une base des fonctions définies sur la sphère. Elles sont l’équivalent, sur la sphère, des séries de Fourier sur le cercle. Les sont les coefficients du développement et peuvent être écrits en fonction de :
- (éq. 2).
Ceci permet de représenter une fonction, non par des valeurs en des points [les ], mais par une série de nombres représentant l’amplitude de chaque longueur d’onde [les ].
Topographie terrestre et harmoniques sphériques
La topographie terrestre est un exemple de fonction définie sur une sphére qui peut donc être décomposée en une somme d'harmoniques sphériques.
La série de figures suivante est une illustration de développement de la topographie en harmoniques sphériques : la topographie étant connue, on estime les coefficients grâce à la relation éq.2 puis on reconstruit la fonction par la relation éq.1 jusqu’à fini. Ces figures montrent cette topographie reconstruite en fonction de .
Source - © 2020 Frédéric Chambat, Olivier Dequincey pour Planet-Terre - ENS de Lyon