La Terre est “ronde”

Qu'est-ce qu'une planète qui ne serait pas sphérique ? Une réponse pourrait être : ce serait une sphère avec de très grosses montagnes. Un cube par exemple, comme sur la figure 1 (gauche). On peut alors définir un critère de rotondité : on dit que la planète est sphérique si la hauteur maximale des montagnes h_max est petite devant le rayon de la planète R.

Le questionnement à propos de la rotondité de la Terre peut être reformulé de la manière suivante : pourquoi et par quoi la taille des montagnes sur Terre est-elle limitée ?

Pour répondre à cette question, faisons appel à la mécanique des milieux continus, et plus particulièrement à la notion de contraintes dans un matériau donné. Une contrainte représente une force par unité de surface, en dimension elle est donc assimilable à une pression, mais elle est plus générale que la pression : sur un élément de surface dans un matériau, une contrainte s'exerce à priori dans n'importe quelle direction de l'espace (et non pas forcément perpendiculairement comme la pression). De plus, la contrainte dépend de la direction de la surface considérée.

Dans le cas d'une montagne (très) simple de hauteur h (figure 1, à droite) soumise à son poids (force volumique $\rho .\overrightarrow{g}$), on peut considérer qu'il existe une contrainte qui s'exerce verticalement (sur les éléments de surface horizontaux) et une autre qui s'exerce horizontalement (sur les éléments de surface verticaux). La première, par intégration sur une colonne, vaut σ_V = ρgh, alors que la seconde est nulle : σ_H = 0, puisque celle-ci correspond à la pression exercée par l'atmosphère sur les côtés, qui est négligeable.

Le déviateur des contraintes, qui mesure les différences entre les contraintes principales, s'exprime alors simplement comme τ = σ_V − σ_H = ρgh.

Figure 1. Planète et montagne

À gauche : une planète sphérique de rayon R et une planète non-sphérique. Nous appelons ici “montagne” la différence entre les deux. La hauteur maximale des montagnes est notée h_max.

À droite : schématisation d'une montagne de hauteur h, de la gravité $\vec{g}$, et des contraintes horizontales σ_H et verticales σ_V qui y règnent sous l'effet du poids.

Ces contraintes dans la montagne sont celles qui règnent dans une carotte de roche soumise à une contrainte σ_V sur les deux bords opposés. Il en résulte, au fur et à mesure que la contrainte augmente, une déformation d'abord élastique, puis “ductile”, résultant de processus de fluage, puis une déformation cassante (figure 2).

Source - © 2003 Pierre Thomas

Figure 2. Exemples de réponse d'un matériau naturel à une contrainte

On voit à la fois une déformation ductile (pli) et cassante (faille). Il s'agit ici du pli-faille de Saint-Rambert en Bugey.

La figure 3 montre les résultats d'expériences de confinement de carottes de roches visant à mesurer cette relation entre la contrainte appliquée et la déformation résultante.

Figure 3. Expérience de compression d'une carotte de roche

À gauche : déformation élastique. Au milieu : rupture. À droite : contrainte τ à laquelle est soumise la roche, en fonction de la déformation ε. Dans le domaine élastique, la contrainte est proportionnelle à la déformation. Dans le domaine plastique, pour une contrainte maintenue constante, la déformation se poursuit jusqu'à fracture. Les seuils dépendent de la température.

En deçà d'une certaine température, le domaine plastique disparaît. Les plis observés en surface n'ont pas pu se former à température “ambiante”, ils résultent de contraintes subies anciennement en profondeur et à plus haute température.

Ces expériences montrent que la rupture des roches classiques de la croute intervient entre 100 et 500 MPa (Fossen, 2010 [2]). Pour mener un calcul d'ordre de grandeur, prenons une contrainte maximale égale à τ_maxn = 300 MPa. Or la contrainte à la base d'une montagne augmente avec sa hauteur. La hauteur d'une montagne est donc limitée et son maximum, qu'on notera h_max, est donné par la contrainte de rupture, c'est-à-dire par la relation τ_max = ρgh_max. En prenant ρ = 3000 kg.m⁻³ et g = 10 ms⁻², il vient h_max = 10 km. Cet ordre de grandeur correspond bien à ce qu'on observe sur Terre : la hauteur d'Hawaï, plus haute montagne isolée, est de 9 km (5 km immergés et 4 km émergés). Pour Mars, où la gravité est de g = 3, 6 ms⁻², on obtient ainsi une hauteur maximale des montagnes de 28 km, ce qui correspond là encore aux observations, le Mont Olympe (Olympus Mons) a 27 km d'altitude. Pour ces deux planètes, et pour celles où la gravité est suffisante, la hauteur des montagnes est donc une toute petite fraction de leur rayon : on peut considérer qu'elles sont sphériques.

Lorsque la gravité est plus faible, c'est-à-dire pour une plus petite planète, la hauteur maximale est plus grande, et peut théoriquement devenir comparable au rayon. Déterminons donc un rayon critique correspondant.

En notant G la constante de gravitation universelle, M la masse du corps considéré, $\stackrel{-}{\rho }$ sa densité moyenne, R son rayon, la gravité est, en ordre de grandeur :

Prenons par exemple comme critère de sphéricité h_max ≤ R/4, et notons R_c le rayon critique pour lequel l'égalité τ_max = ρgh_max est satisfaite. Avec l'expression de g précedente, on trouve alors :

Pour les petits corps, $\stackrel{-}{\rho }\approx \rho \approx {\text{3000 kg.m}}^{\mathrm{-3}}$, si bien que R_c ≈ 700 km. On en conclut qu'au-delà de quelques centaines de kilomètres, un corps céleste auto-gravitant, non tournant, est (approximativement) sphérique. En dessous de quelques centaines de kilomètres on ne peut rien dire : les corps peuvent être quelconques (dont sphériques). Ce résultat est cohérent avec quelques formes d'astéroïdes connus (figure 4) : le plus gros d'entre eux est sphérique alors que les autres ont parfois des formes éloignées de la sphère.

Figure 4. Exemples d'astéroïdes de formes et de tailles variées

En haut à gauche, Cérès, le plus gros des astéroïdes, a un rayon de quasiment 500 km et est donc proche de la sphéricité. Pour cette raison, selon la nouvelle nomenclature astronomique, il n'est plus qualifié d'astéroïde mais de planète naine. À droite, le petit astéroïde Éros a une forme irrégulière. Au milieu, le cas intermédiaire de Vesta, plus irrégulier que Cérès mais moins qu'Éros. En bas, Camilla, l'un des plus gros astéroïde. Il n'a pas été survolé de près, c'est pourquoi sa forme est peu précisément connue. Elle est déduite des mesures de luminosité depuis la Terre. On voit toutefois que Camilla n'est probablement pas sphérique.

Ainsi, en première approximation, à l'ordre du pour cent près, la Terre est à symétrie sphérique, en surface et à l'intérieur. La sismologie a permis de proposer des modèles sphériques de Terre, qui la représentent en couches concentriques où la vitesse des ondes et la densité varient de manière lisse, séparées par des discontinuités de ces paramètres. L'un de ces modèles est PREM (Preliminary Reference Earth Model, figure 9).

Mais, en seconde approximation, la Terre n'est pas parfaitement ronde. Ce modèle est déformé sous la forme d'un ellipsoïde un peu aplati aux pôles, ce sera l'objet du prochain article La Terre est un peu aplatie : comment Newton calcule l'aplatissement « sans sortir de chez lui ».

Figure 9. Modèle PREM de structure interne sphérique de la Terre

Variations des vitesses des ondes sismiques P et S, et de la densité en fonction de la profondeur. Entre deux interfaces, les paramètres sont supposés varier de façon lisse.