Mots clés : planète, rotation, révolution, vitesse de rotation, vitesse de révolution, période de rotation, lois de Képler

Formation du système solaire, origine et vitesse de rotation des planètes

Pierre Thomas

Laboratoire des Sciences de la Terre, ENS Lyon

Florence Kalfoun

ENS Lyon / DGESCO

Benjamin Levrard

Institut de Mécanique Céleste, Observatoire de Paris

Frédéric Chambat

Laboratoire des Sciences de la Terre, ENS Lyon

Florence Kalfoun

ENS Lyon / DGESCO

03/02/2006

Résumé

Origine du sens de rotation des planètes, sur elles-mêmes et autour du Soleil (révolution).


La question

La question à l'origine de cet article.

« Une question à laquelle je n'ai pas trouvé de réponse sur le site : pourquoi est-ce que les planètes tournent ? Pour le Soleil il s'agit (je crois) d'une vitesse initiale d'accrétion, est-ce la même chose pour les planètes, y compris les planètes gazeuses ? Et question subsidiaire, quels sont les éléments qui interviennent dans la vitesse de rotation des planètes (masse, densité, distance par rapport au Soleil...?) »

La réponse

Avant toute chose, lorsque l'on parle de rotation des planètes, il faut distinguer la rotation de la planète sur elle-même et la rotation de la planète autour du Soleil, c'est-à-dire sa révolution.

La révolution des planètes

Si on s'intéresse à la révolution des planètes autour du Soleil, on peut se poser trois questions. Pourquoi ces planètes tournent-elles autour du Soleil ? Pourquoi tournent-elles dans le même sens autour du Soleil ? De quels facteurs dépendent leur vitesse et donc leur période de révolution ?

Pourquoi les planètes tournent-elles dans le même sens autour du Soleil?

Pour répondre à cette question, retournons à l'origine du système solaire.

Tout commence avec une nébuleuse, c'est-à-dire un nuage interstellaire de gaz (principalement composé d'hydrogène et d'hélium) et de poussières (ou grains de silicates, de glaces et de matières organiques). Les figures 1, 2 et 3 montrent un exemple de nébuleuse, la nébuleuse d'Orion qui est la plus proche de notre système solaire, située à 1500 années-lumière (1 al = 9461 milliards de km). Le "diamètre" d'une nébuleuse standard mesure environ 5 à 500 années lumière (1 al = 63000 ua, ua : unité astronomique).

Au sein de cette nébuleuse, les zones qui atteignent une masse critique vont s'effondrer sur elles-mêmes. Un certain nombre d'amas vont ainsi se différencier, condenser puis évoluer en disques protoplanétaires dotés d'une étoile centrale. Ces disques protoplanétaires sont également nommés «  proplyds  » pour PROto PLanetarY DiskS . Pour donner un ordre de grandeur, on estime qu'une nébuleuse peut compter entre 1 à 500 disques protoplanétaires, des exemples de ces disques sont visibles sur la figure 4.

Figure 1. Vue de la constellation d'Orion

Vue de la constellation d'Orion

La nébuleuse d'Orion se trouve à 1500 années lumières de la Terre en direction de la constellation d'Orion. La zone encadrée correspond à la figure 2


Figure 2. La nébuleuse d'Orion (M42)

La nébuleuse d'Orion (M42)

L'image a été réalisée par Hubble. La nébuleuse d'Orion est un immense nuage de gaz et de poussières, éclairée par de jeunes et chaudes étoiles. Elle couvre environ 40 années lumières et se situe dans le même bras de notre galaxie que le Soleil. La zone encadrée est la figure 3.


Figure 3. Vue du centre de la nébuleuse d'Orion

Vue du centre de la nébuleuse d'Orion

Cette image est en fait une mosaïque de clichés pris par Hubble. Les lumières rouges indiquent la présence d'azote, les vertes d'hydrogène et les bleues d'oxygène. La zone encadrée est la figure 4.


Figure 4. Disques protoplanetéaires (Proplyds)

Disques protoplanetéaires (Proplyds)

De nombreuses jeunes étoiles de la nébuleuse sont entourées d'un disque de poussières et de gaz dont le diamètre est de 2 à 8 fois plus grand que celui de notre système solaire. Cette image montre 4 de ces disques protoplanétaires.


Comment passe-t-on d'une nébuleuse à un (ou plusieurs) disque(s) protosolaire(s) ?

Ne considérons que la part qui va donner un disque unique.

Si seule la force de gravitation intervenait sur la nébuleuse, et si son moment cinétique (somme de tous les moments cinétiques de ses composants) était exactement nul au départ, la contraction du nuage conduirait à une sphère étant donné que la force de gravitation est une force radiale (figure 5 cas 1).

Mais il n'y a aucune raison pour que cette nébuleuse soit parfaitement symétrique. Au contraire, les particules qui le composent sont animées de mouvements aléatoires et la somme des vecteurs moment cinétique de chaque particule de chaque amas n'est probablement pas exactement nulle.

L'existence d'un moment cinétique non nul pour ce nuage fait que lorsqu'il se contracte sous l'effet des forces de gravitation, un axe de rotation principal (parallèle au vecteur moment cinétique) se dégage. D'autre part, la conservation de son moment cinétique conduit à une augmentation de la vitesse de rotation des particules du nuage au fur et à mesure de sa contraction.

Cette augmentation de vitesse découle de la conservation du moment cinétique (moment angulaire) pour un système en rotation sur lequel aucune force extérieure ne s'exerce et sur lequel les forces internes (forces de gravitation ici) sont parallèles à la direction joignant les corps en interaction.

En effet, la norme de ce moment cinétique s'écrit m. v . r

avec m = masse de l'objet en rotation, v = vitesse de l'objet sur l'orbite, r = rayon de l'orbite

Lorsque le nuage se contracte, r diminue et la masse m reste constante donc pour que le moment soit conservé, la seule solution est que v augmente.

C'est le même phénomène qui explique que le patineur augmente sa vitesse de rotation sur lui-même lorsqu'il ramène ses bras contre son corps.

L'existence d'un axe de rotation privilégié, induit alors l'apparition d'une "force" centrifuge qui s'ajoute aux forces de gravitation et qui interfère sur la contraction en sphère. Ainsi, alors que le nuage se contracte, les particules présentes sur l'axe de rotation continuent à se rapprocher de la masse centrale car la force centripète est nulle pour ces particules. En revanche, pour les particules ou blocs qui ne se trouvent par sur l'axe de rotation, la force centrifuge s'oppose à leur convergence vers la protoétoile centrale. Une forme sphérique qui se contracte perpendiculairement à un axe de rotation forme un disque (figure 5 cas 2).

Figure 5. Schéma simplifié montrant la formation du disque protoplanétaire

Schéma simplifié montrant la formation du disque protoplanétaire

Notons également que les collisions entre poussières, blocs et planétésimaux ont également pour effet de concentrer ces éléments dans un plan se rapprochant du plan bissectrice de leur orbite, donc de les rassembler dans le plan du disque protosolaire.

Plus cette contraction se poursuit, plus le centre du nuage devient dense et chaud jusqu'à ce que la température soit suffisante pour déclencher des réactions nucléaires. Une étoile est née !

Les fortes densités et température du centre créent une pression de gaz élevée qui s'oppose aux forces de gravitation et donc à la contraction. Le gaz de l'étoile ne se contracte plus. Et l'étoile en s'allumant, émet un très fort vent de particules, qui diminue ensuite pour former ce qu'on appelle le vent solaire. Le vent initial suivi du vent solaire normal chasse assez vite le gaz, puis les poussières qui ne seraient pas accrétées en planétésimaux.

Les planètes qui se forment donc au sein de ce disque, sont constituées de l'agglomération de poussières, planétésimaux et gaz qui déjà tournaient. Elles ont donc la "quantité mouvement de rotation" somme de celles de leurs composants, tournent donc autour du Soleil selon le sens de rotation d'ensemble de la nébuleuse initiale ou, plus précisément, ce sens de rotation initial dépend du vecteur moment cinétique de la nébuleuse initiale, qui dépend de l'orientation du vecteur moment cinétique initial.

De quoi dépend la période de révolution des planètes ?

En ce qui concerne, la vitesse de rotation autour du Soleil et donc la période de révolution (temps qu'une planète met pour effectuer un tour autour du Soleil) des planètes, on peut montrer la relation suivante entre le demi-grand-axe (a) de la trajectoire elliptique de la planète et sa période de révolution (T) :

  • a3/T2 = G (Ms +mp)/4π2

où G est la constante de gravitation universelle (6,672.10-11 m3.kg-1.s-1), Ms est la masse du Soleil et mp la masse de la planète considérée.

En considérant que la masse d'une planète est négligeable devant celle du Soleil, on retrouve la troisième loi de Kepler :

  • a3/T2 = constante

La période de révolution d'une planète ne dépend donc que de a, le demi-grand-axe de l'ellipse que décrit la planète en rotation autour du Soleil (voir tableau ci-dessous).

De plus, la vitesse linéaire moyenne (V) d'une planète est proportionnelle au rapport a/T (V=2π.a / T en prenant une trajectoire circulaire). L'expression précédente peut donc aussi s'écrire :

  • a.V2 = constante'

    ou encore :

  • V3.T = constante''

Ainsi, si l'on compare deux planètes (notées p et p'), on a :

  • ap 3/Tp 2=ap' 3/Tp' 2
  • ap.Vp 2=ap'.Vp' 2

    ou encore

  • Vp 3.Tp =Vp' 3.Tp' 2

Donc si p est plus près du Soleil que p' (ap<ap'), alors Tp devra être plus petite que Tp' pour que l'égalité soit respectée, et la vitesse linéaire moyenne Vp de la planète p sera plus grande que Vp', vitesse de la planète la plus éloignée du Soleil.

Cette relation se vérifie dans le tableau ci-dessous qui présente les valeurs des vitesses linéaires moyennes calculées pour les différentes planètes : quand la distance au Soleil augmente, la période de révolution augmente et la vitesse linéaire moyenne diminue.

Planètes

Demi grand axe (km)

Période de révolution sidérale (jours)

Vitesse linéaire moyenne (km/s)

de la plus proche à la plus lointaine du Soleil

(a)

(T)

temps mis pour faire le tour du Soleil

(V)

calculée en assimilant l'ellipse à un cercle

Mercure

58.064.839

87,969

48

Vénus

108.499.798

224,701

35

Terre

150.000.016

365,257

30

Mars

228.549.346

686,96

24

Jupiter

780.504.451

4335,355

13

Saturne

1.430.560.548

10757,737

9,7

Uranus

2.878.689.590

30708,16

6,8

Neptune

4.510.344.522

60224,904

5,5

Pluton

5.922.253.016

90613,306

4,7

Les valeurs de demi grands axes ainsi que les périodes de révolution sont extraites du site http://ssd.jpl.nasa.gov/elem_planets.html. Les valeurs de demi grands axes ont été converties en km en multipliant par 150.000.000 la valeur donnée en ua.

La vitesse linéaire moyenne a été calculée en divisant le périmètre de l'ellipse (assimilée à un cercle de rayon a) par la période de révolution, puis en effectuant une conversion des km/jour en km/s. Le même calcul effectué en utilisant une expression approchée du périmètre de l'ellipse (p= 2π√(0,5(a2+b2)) où b est le demi petit axe de l'ellipse, ne donne pas des valeurs significativement différentes compte tenu de la précision avec laquelle nous avons choisi d'afficher le résultat.

Attention, nous ne parlons ici que de vitesse linéaire moyenne, car il ne faut pas oublier que la vitesse d'une planète varie le long de sa trajectoire elliptique. Notons que la vitesse est plus élevée au périhélie (là où la distance planète-Soleil est la plus faible) qu'à l'aphélie.

La rotation des planètes sur elles-mêmes

Au sujet du sens de rotation

Les planètes de notre système solaire, exceptées Vénus et Uranus, tournent sur elles-mêmes dans le même sens prograde ou direct (sens inverse des aiguilles d'une montre) lorsqu'on les regarde par leur pôle Nord, c'est-à-dire lorsqu'on a une vue de dessus du plan de l'écliptique. Les deux planètes atypiques sont Vénus qui tourne "à l'envers" et Uranus dont l'axe de rotation est couché dans le plan de l'écliptique. Il en est de même de tous les satellites majeurs (diamètre > 400 km) du système solaire qui tournent autour de leur planète et sur eux-mêmes dans ce même sens prograde, sauf Triton, qui tourne "à l'envers" autour de Neptune. Sur 27 planètes et satellites majeurs, il y a donc deux exceptions (Vénus et Triton qui ont une révolution et une rotation rétrograde), et un cas particulier (Uranus). Ce sens prograde de rotation des planètes sur elles-mêmes est le même que le sens de révolution des planètes autour du Soleil, et le même que le sens de rotation du Soleil sur lui même. Il ne peut s'agir d'un hasard.

Replaçons-nous au début de la formation des planètes lorsque les collisions entre planétésimaux étaient en train de faire grossir les planètes.

Au cours de sa formation, la proto-Terre (comme les autres protoplanètes et protosatellites) entrait en collision avec un certain nombre de planétésimaux qu'elle capturait en les intégrant à sa masse. Pour qu'il y ait collision entre planétésimaux, il fallait soit que leurs orbites se recoupent soit qu'elles se tangentent.

Pour simplifier, nous considérons que tous les planétésimaux étaient en orbite dans le même plan, celui de l'écliptique.

Dans un premier temps, considérons uniquement les planétésimaux ayant des orbites sécantes (figure 6) avec celle de la proto-Terre et étudions les possibilités de collision (voir figures 7, 8, 9).

Figure 6. Exemple d'orbites coplanaires sécantes et sites de collision possibles

Exemple d'orbites coplanaires sécantes et sites de collision possibles

Les ellipses (en bleu et en marron) représentent les trajectoires des deux (proto)planètes. Le Soleil (disque jaune) se trouve à l'un des foyers de chacune de ces deux ellipses. Les flèches indiquent le sens de déplacement des protoplanètes (ou planétésimaux) sur leur orbite. Les zones encadrées (cadre supérieur rouge et cadre inférieur vert) correspondent aux deux zones de collision possibles.


La figure 7 montre ce qui se passe dans les deux cas d'une collision parfaitement centrée  : il n'y a pas de composante rotationnelle transférée à la proto-Terre.

Figure 7. Cas de collision parfaitement centrale

Cas de collision parfaitement centrale

Dans cette configuration, la trajectoire des impacteurs passerait exactement par le centre de la proto-Terre. Les deux cas de figures (cadre rouge et cadre vert) correspondent aux deux configurations visibles sur la figure 6.


Si la collision arrive latéralement , il y a transfert de rotation , avec quatre cas possibles représentés dans les figures 8 et 9, deux cas faisant tourner dans un sens, et les deux autres dans l'autre sens.

Figure 8. Deux cas de collision latérale dans la configuration de la figure 6 (cadre supérieur rouge)

Deux cas de collision latérale dans la configuration de la figure 6 (cadre supérieur rouge)

La collision latérale s'effectue soit sur la face "avant" de la protoplanète bleue (figure de gauche), soit sur sa face "arrière" (figure de droite). Le sens de la rotation induite par la collision est indiqué par la flèche rouge.


Figure 9. Deux cas de collision latérale dans la configuration de la figure 6 (cadre inférieur vert)

Deux cas de collision latérale dans la configuration de la figure 6 (cadre inférieur vert)

La collision latérale s'effectue soit sur la face "arrière" de la proto-Terre bleue (figure de gauche), soit sur sa face "avant" (figure de droite). Le sens de la rotation induite par la collision est indiqué par la flèche verte.


Les chocs faisant tourner dans un sens étant équiprobables à ceux faisant tourner dans l'autre, il n'y aurait aucune raison que presque toutes les planètes tournent dans le même sens sur elles-mêmes.

Intéressons nous maintenant aux planétésimaux ayant des orbites tangentes avec celle de la Terre et étudions leur effet sur le sens de rotation de la proto-Terre.

La figure 10 montre un exemple d'orbites tangentes en un point.

Figure 10. Exemples d'orbites tangentes

Exemples d'orbites tangentes

La trajectoire de la proto-Terre pourrait être celle représentée en bleu. Le Soleil situé au foyer des 3 trajectoires elliptiques est représenté en jaune orangé. Les rapports de taille entre les planètes et le Soleil ne sont pas respectées.


Des considérations physiques (voir les figures 11, 12, 13 pour trois approches différentes) permettent de montrer que la vitesse linéaire des planétésimaux des orbites externes est plus élevée que celle des planétésimaux des orbites internes en un point commun de tangence (figure 14). La première approche (figure 11) est plus intuitive que les deux autres approches (figures 12 et 13) qui sont plus élaborées, qui nécessitent des bases de physique et qui sont donc plutôt réservées aux "spécialistes".

Figure 11. Comparaison des trajectoires d'une pomme lâchée dans le champ gravitationnel de la Terre depuis une hauteur identique mais avec des vitesses horizontales différentes

Comparaison des trajectoires d'une pomme lâchée dans le champ gravitationnel de la Terre depuis une hauteur identique mais avec des vitesses horizontales différentes

Cette démonstration est inspirée des réflexions de Newton qui se demandait pourquoi les pommes tombaient et pas la Lune. Il a observé que le rayon de courbure de la trajectoire d'une pomme qui tombe est d'autant plus grand que la vitesse linéaire horizontale est élevée. Il avait même pensé que si la pomme était lancée assez vite, sa trajectoire aurait la courbure de la rotondité de la Terre et la pomme serait mise en orbite.

Cette expérience peut être généralisée à une planète en rotation autour du Soleil. Dans ce cas, on comprend pourquoi la vitesse linéaire des planétésimaux des orbites externes (à plus grand rayon de courbure) est plus élevée que celle des planétésimaux des orbites internes (à rayon de courbure plus faible). Bref, plus le corps va vite, moins il "tombe".


Figure 12. Démonstration 1 : la vitesse sur l'orbite tangente externe est plus élevée que celle sur l'orbite tangente interne

Démonstration 1 : la vitesse sur l'orbite tangente externe est plus élevée que celle sur l'orbite tangente interne

Cette démonstration (F.C.) est valable pour n'importe quelles trajectoires, pourvu qu'elles se tangentent.


Figure 13. Démonstration 1 : la vitesse sur l'orbite tangente externe est plus élevée que celle sur l'orbite tangente interne

Démonstration 1 : la vitesse sur l'orbite tangente externe est plus élevée que celle sur l'orbite tangente interne

Cette démonstration (B.L.) est valable pour tous les points où les orbites de même foyer se tangentent.


Ces différences de vitesses vont avoir un effet rotationnel sur la proto-Terre (figure 14 et 15).

Figure 14. Influence des planétésimaux aux orbites tangentes à celle de la proto-Terre

Influence des planétésimaux aux orbites tangentes à celle de la proto-Terre

Si on se place dans le repère de la proto-Terre (figure 15), on constate que les planétésimaux externes nous doublent, et qu'on rattrape puis double les planétésimaux internes. Le mouvement relatif des planétésimaux par rapport à un repère lié à la proto-Terre est donc de "bas en haut " (sur la figure 15) pour les planétésimaux externes, et de "haut en bas" pour les planétésimaux internes.

Figure 15. Effets des planétésimaux tangents sur la proto-Terre (vue dans le repère de la proto-Terre)

Effets des planétésimaux tangents sur la proto-Terre (vue dans le repère de la proto-Terre)

Les flèches verte et noire représentent les mouvements des impacteurs tangents à la proto-Terre (vus dans le repère de la proto-Terre). La flèche rouge indique le sens de rotation de la proto-Terre sur elle-même, rotation induite par ces chocs.


Ces deux mouvements relatifs entraînent une rotation de la proto-Terre dans le même sens, qui est également celui de révolution de tout le système solaire .

Au sujet de la période de rotation des planètes

En ce qui concerne la période de rotation de la planète sur elle-même , sa valeur dépend de l'histoire de la planète depuis sa formation, des interactions avec ses satellites et le Soleil.

En effet, les effets de marées du Soleil ont dû affecter et ralentir la rotation de toutes les planètes. Mais ces effets décroissent très rapidement avec la distance (en 1/a6). Donc seules Mercure et Vénus ont été véritablement sensibles à ces effets. Une des conséquences est que la rotation de Mercure a été freinée pour arriver aujourd'hui dans un état tel que quand elle tourne 3 fois sur elle-même, elle fait 2 révolutions autour du Soleil (résonance 3:2). Pour Vénus (voir le dossier de l'IMCCE), la contribution supplémentaire des effets de marées atmosphériques a pu la conduire dans un état où elle tourne a l'envers !

La plupart des planètes telluriques et gazeuses, à partir de la Terre, tournent sur elles-mêmes avec des périodes proches de 15 à 25 h, ce n'est pas un hasard. Comme les effets de marées ont été négligeables, c'est que cette rotation est sûrement proche (à quelques heures près !) de la valeur primordiale (c'est-à-dire depuis la fin de la formation du système solaire) et elles n'ont pas dû beaucoup bouger... c'est cela qui est merveilleux !!!

Par contre, la plupart des satellites naturels ont été rapidement freinés par la planète et tournent en révolution synchrone. Leur vitesse de rotation a pu passer de quelques heures à quelques jours en moins d'un million d'années. Leur vitesse de rotation est maintenant égale à leur vitesse de révolution. Ils présentent toujours la même face à la planète.

Par exemple, dans le cas de la Lune et de la Terre, le phénomène des marées associé à une différence de vitesse de rotation entre la Terre et la Lune tend à faire diminuer la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même et augmenter la distance Terre-Lune, ce qui diminue la vitesse de révolution de la Lune autour de la Terre, en vertu des lois de Kepler (figure 16).


Mots clés : planète, rotation, révolution, vitesse de rotation, vitesse de révolution, période de rotation, lois de Képler