Mouvement des enveloppes fluides : Travail sur une carte d'analyse en surface / Vent géostrophique

Vincent Daniel

Laboratoire de Météorologie Dynamique, Univ. Pierre et Marie Curie, Paris

Benoît Urgelli

ENS Lyon / DGESCO

19/06/2000

Résumé

Compréhension des écoulements atmosphériques et des phénomènes cycloniques. Travail sur une carte d'analyse en surface - Vents géostrophiques.


On trouvera également le TD converti sous forme d'un fichier pdf ou ps gzipé et sa correction (pdf, ps gzipé)

Préliminaires

Observation

  • Visualisation d'une animation satellitale sur une hémisphère.

Problématique et objectifs

  • Comprendre pourquoi il n'y a pas d'enroulements nuageux à grande échelle au voisinage de L'équateur.
  • Comprendre pourquoi l'enroulement autour d'un centre dépressionnaire (cyclone) s'effectue dans le sens contraire des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord.
  • Trouver les forces qui animent les écoulements atmosphériques.
  • Calculer la vitesse du vent à partir du champ de pression.

Domaine d'étude

  • On ne s'intéresse qu'aux mouvements atmosphériques horizontaux (on va travailler dans le plan tangent).
  • Ordre de grandeur des vitesses horizontales : 50 km/h.
  • Ordre de grandeur des vitesses verticales : 50 m/h.

Figure 1. Mouvements verticaux dans un cyclone

D'après M. Leroux, 1996


Figure 2. Mouvements horizontaux dans un cyclone

D'après M. Leroux, 1996


Description physique de l'atmosphère

Conformément aux propositions du programme de la classe de 1èreS, la connaissance des propriétés dynamiques de l'atmosphère nécessite de définir préalablement un système, un référentiel et de faire l'inventaire des forces extérieures qui s'exercent sur ce système.

Le système

En météorologie, l'étude des masses d'air s'effectue en considérant des petites parties du fluide de volume τ , appelées particules. Ces particules sont caractérisées par des variables dynamiques et thermodynamiques.

  • question 1  : Donnez des exemples de variables dynamiques et de variables thermodynamiques utiles en météorologie. réponse.

Le référentiel

Afin d'étudier les mouvements horizontaux au voisinage d'un point O, il est préférable de travailler dans un référentiel associé au plan tangent à la Terre au point O comme le montre la figure 3.

La rotation du repère local (cf. figure 3) autour de l'axe vertical joue un rôle capital sur les mouvements atmosphériques. Afin de déterminer la rotation du repère local autour de la verticale (axe Oz ), on considère un expérimentateur dont le dos est accolé à l'axe vertical du repère local (cf. figure 4).

  • question 2  : Lorsque la Terre fait un tour, est-ce que les deux expérimentateurs ont tourné d'un même angle autour de l'axe vertical de leur repère local ? réponse.
  • question 3  : Les mouvements atmosphériques sont-ils influencés de la même manière suivant la latitude ? En vous inspirant de l'animation satellitale projetée au début du TD, quel genre de structure de la circulation atmosphérique engendre la rotation de la Terre. On pourra regarder les photos prises lors de manipulations en cuve non tournante et tournante au Palais de la Découverte. réponse.
  • question 4  : Sachant que la Terre effectue un tour sur elle-même en un jour, calculez la vitesse angulaire de rotation ω de la Terre (elle s'exprime en radiant par seconde). réponse.

Les forces extérieures exercées sur le système

Le poids

  • question 5  : Donnez en fonction du volume τ , de la masse volumique ρ et de la gravité g , l'expression du poids exercé sur le système. réponse.
  • question 6  : Le poids doit il être pris en compte dans notre étude des mouvements horizontaux de l'atmosphère ? réponse.

La force de pression

La pression en un point d'un fluide est une mesure du poids de la colonne de fluide située au dessus. Dans notre plan horizontal, les variations de pression d'un endroit à l'autre induisent des forces sur les particules de fluide dites forces de pression. Les composantes horizontales de cette force sont données par les formules suivantes:

(1)

On considère un récipient rempli d'eau en vidange (cf. figure 5 et cf. manipulation).

  • question 7  : En appliquant la loi de l'hydrostatique : ∆P = ρgH entre les points A et B, calculez la valeur de la pression au point B. réponse.
  • question 8  : Indiquez ensuite la direction du gradient de pression au point M et donner sont expression. réponse.
  • question 9  : Dessiner la direction de la force de pression qui s'exerce sur la particule située en M. réponse.
  • question 10  : Concluez sur la possibilité d'écoulement du fluide. réponse.

On considère 2 colonnes atmosphériques (cf figure 6) telles que ρ1H1 ≤ ρ2H2

  • question 11  : Sous quelle colonne va se former un cyclone, un anticyclone ? réponse.
  • question 12  : En vous aidant de l'exercice précédent, dessiner le gradient de pression en M et la force de pression exercée sur la particule M. réponse.

Travail sur la carte d'analyse en surface

La figure 7 décrit les données enregistrées dans une station.

Figure 7. Description des données enregistrées dans une station.


La pression est un peu délicate à calculer à partir de l'indication : il faut mettre une virgule avant le dernier chiffre et ajouter soit un 9 soit un 10 (seule la cohérence permet de conclure). Le résultat est exprimé en hPa. Sur la figure 6, on lit 957. On met une virgule avant le 7. Puis on ajoute un 9 pour avoir une pression de 995,7 hPa (1095,7 hPa serait trop élevée).

  • question 13  : Localisez les centres anticycloniques et les centres dépressionnaires ? réponse.
  • question 14  : Dessiner la direction du vecteur gradP au point M. réponse.
  • question 15  : Calculez l'amplitude du gradient de pression au point M. réponse.
  • question 16  : Déduisez en la direction de la force de pression qui s'applique sur une particule de fluide en M. réponse.

N'oublions pas les forces d'inertie !!!

Lorsque l'on travaille dans un repère non galiléen (c'est à dire tournant, cf programme de la classe de 1èreS il faut aussi considérer les forces dites d'inertie.

  • question 17  : Le référentiel local est-il un référentiel galiléen ? réponse.

La force d'inertie d'entraînement s'applique sur des particules en mouvement ou au repos. C'est la force qui nous pousse vers l'extérieur lorsque l'on est immobile sur un manège. A titre indicatif, son expression est :

(2)

Sur la Terre, la force d'inertie d'entraînement est négligeable. De plus, en toute rigueur, elle est englobée dans le poids.

La force d'inertie de Coriolis s'applique uniquement sur les particules en mouvement dans le référentiel local. C'est une force qui dévie vers la droite dans l'hémisphère Nord. A titre indicatif, son expression est :

(3)

En météorologie, la force d'inertie de Coriolis est capitale car c'est dans cette force qu'appariait l'effet de la rotation de la Terre.

Travail sur la carte d'analyse en surface

Prenons une particule au point M, initialement immobile.

  • question 18  : Dessiner la direction du vecteur vitesse quelques secondes plus tard en M' (on pourra s'aider du travail effectué sur la force de pression au point M). réponse.
  • question 19  : Connaissant la direction du vecteur vitesse en M', dessiner la direction de la force d'inertie de Coriolis qui s'applique sur la particule en M'. réponse.
  • question 20  : Dans quel sens la particule de fluide est-elle déviée ? Cela vous semble-t-il cohérent avec le sens d'enroulement des vents dans les cyclones et les anticyclones de l'hémisphère Nord ? réponse.

La relation du vent géostrophique

L'application du principe fondamental de la dynamique à une particule de fluide permet d'écrire :

Masse x Accélération = Force de Coriolis + Force de pression

Des analyses d'ordre de grandeur pour les écoulements atmosphériques de grande échelle montrent que le terme de gauche est très petit devant les 2 termes de droite. On peut donc écrire :

Force de Coriolis + Force de pression = 0

La force de Coriolis faisant intervenir la vitesse, on peut en déduire l'expression de la vitesse en fonction du gradient de pression :

Cette relation dite du vent géostrophique est capitale car elle permet de connaître le champ de vitesse à partir du champ de pression. Au bout d'un temps long, la force de Coriolis dévie assez les particules de fluide vers la droite pour qu'elles puissent avoir une trajectoire perpendiculaire au gradient de pression

La démonstration de cette relation vous est présentée en annexe et vous pourrez en discuter avec les professeurs de physique.

Tracé des vecteurs vents sur la carte d'analyse en surface

Ces questions portent sur la carte d'analyse en surface.

  • question 21  : Trouvez l'orientation du gradient de pression par rapport aux isobares. réponse.
  • question 22  : Trouvez les endroits où la norme du gradient de pression est la plus élevée, la plus faible. réponse.
  • question 23  : A l'aide des données de température et de pression dans les stations météo, évaluez la masse volumique de l'air à l'aide de la relation des gaz parfaits adaptée à l'air : P = ρ x 287 x (T + 273). On prendra P en Pascal et T en degrés Celsius. La masse volumique s'exprimera en kg/m3. réponse.
  • question 24  : En appliquant la relation du vent géostrophique, dessinez la direction puis calculez la norme du vecteur vitesse d'une particules située au point M (à l'Ouest de l'Irlande). La direction et la valeur de la norme de la vitesse coïncide-t-elle avec les indications des barbules ? réponse.
  • question 25  : Quel est l'intérêt de ces cartes d'analyse en surface ? réponse.

Travail sur la carte d'analyse en surface du jour

  • question 26  : Dessinez le vecteur vent sur Lyon et calculez sa norme. carte à imprimer pour répondre à la question. réponse.
  • question 27  : Voyez-vous une zone où souffle une tempête ? réponse.

Travail sur la carte d'analyse en surface des prévisions ECMWF

Vous trouverez ces prévisions sur la page du European Centre for Medium-Range Weather Forecasts.

  • question 28  : Répondez aux mêmes questions que précédemment. réponse.

Réponses

réponse 1  : Variables dynamiques : vitesse, accélération... Variables thermodynamiques : température, pression, masse volumique... retour.

réponse 2  : L'observateur au Pôle Nord fait un tour sur lui-même, alors que l'observateur à l'équateur ne tourne pas sur lui-même. Un observateur à la latitude θ tourne de Ω.sinθ . retour.

réponse 3  : Comme le montrent les photos prises lors de manipulations en cuve tournante au Palais de la Découverte, la rotation du référentiel autour de la verticale induit des structures particulières : spirales cycloniques et anticycloniques. retour.

réponse 4  : Il s'agit de faire une règle de 3.

2π ↔ 86 400 s

ω ↔ 1 s

soit : ω = 2π / 86 400 = 7,27.10-5 rad/sec retour.

réponse 5  : P = ρτg retour.

réponse 6  : Le poids n'est pas pris en compte quand on ne considère que les mouvements horizontaux. retour.

réponse 7  : La pression en A est la pression atmosphérique. On a PB = Patm + ρeaugH retour.

réponse 8  : La pression au point C est la pression atmosphérique puisque la masse volumique de l'air est faible devant celle de l'eau. Le gradient en M va des faibles pressions vers les fortes pressions. Il va donc de C vers B. retour.

réponse 9  : La force de pression agit dans le sens opposé au gradient. Elle va donc de C vers B et pousse la particule M vers la droite.

réponse 10  : L'écoulement a lieu de la gauche vers la droite dans le tuyau. Le récipient se vide !!!!. retour.

réponse 11  : Une dépression ou cyclone se forme sous la colonne A (faibles pressions). Un anticyclone se forme sous la colonne B (fortes pressions). retour.

réponse 12  : Le gradient de pression en M va de A vers B et la force de pression va de B vers A. retour.

réponse 13  : Centres dépressionnaires marqués par un D, centres anticycloniques marqués par un A. retour.

réponse 14  : Le vecteur gradP au point M est orienté de la dépression britannique vers l'anticyclone des Açores perpendiculairement aux isobares. retour.

réponse 15  : Le gradient de pression peut être évalué par :

gradMP = 15 hPa / 700 km (5) retour.

réponse 16  : La force de pression est orientée de l'anticyclone des Açores vers la dépression britannique. retour.

réponse 17  : Le référentiel local n'est pas galiléen car il est en rotation autour de la verticale. retour.

réponse 18  : Le vecteur vitesse est orienté de l'anticyclone vers la dépression. retour.

réponse 19  : La force de Coriolis est perpendiculaire à la vitesse vers la droite. retour.

réponse 20  : La particule est donc déviée vers la droite et tend à s'enrouler dans le sens contraire des aiguilles d'une montre autour de la dépression. retour.

réponse 21  : Le gradient de pression est perpendiculaire aux isobares. retour.

réponse 22  : Le gradient de pression est élevé autour de la dépression britannique. Il est faible au voisinage de l'anticyclone des Açores. retour.

réponse 23  : ρ = 101050 / (287 x (273 + 9)) = 1,2485 kg/m3. retour.

réponse 24  : Le vent géostrophique est orienté perpendiculairement au gradient de pression. Au point M c'est un vent qui vient du Nord-Ouest (son sens est donné par la règle des 3 doigts de la main droite). retour.

VM geo = gradMP / (2ρΩTerre.sinθ)

VMgeo = 1 500 / (700 000 x 2 x 1,25 x 7,27.10-5sin(54°)) = 14,5 m/s

On trouve une vitesse de 29 noeuds. La vitesse mesurée au sol est plus faible car il y a des frottements sur l'écoulement près de la surface. D'autre part, la direction du vent observée est rentrante vers la dépression et non exactement tangente aux isobares. Il s'agit là encore d'un effet de surface.

réponse 25  : En connaissant la pression, on a accès au gradient de pression en tout point, puis à la vitesse géostrophique en tout point. retour.

réponse 26  : carte corrigée retour.

réponse 27  : voir carte corrigée retour.

réponse 28  : voir carte corrigée retour.

Annexe : Démonstration de la relation du vent géostrophique

Écriture du principe fondamental de la dynamique

Montrez que l'écriture, puis la projection sur les axes Ox et Oy du repère local, du principe fondamental de la dynamique appliqué à une particule de fluide permet d'écrire les 2 égalités suivantes :

(4)

Ordre de grandeur des termes des équations 4.

En étudiant la carte d'analyse en surface, répondez aux questions suivantes.

- Donnez l'ordre de grandeur U des vitesses u et v dans l'atmosphère.

- Donnez l'ordre de grandeur L des longueurs caractéristiques.

- Donnez l'ordre de grandeur ∆P des variations de pression.

- Donnez l'ordre de grandeur ρ de la masse volumique de l'air. On calculera la masse volumique à l'aide de la pression, de la température et en appliquant la formule des gaz parfaits P = 287 x ρT

- À l'aide des 4 questions précédentes, remplissez la dernière ligne du tableau récapitulatif suivant :

Accélération

Force de Coriolis

Force de pression

 

Équation du mvt projeté sur Ox

Équation du mvt projeté sur Oy

Ordre de grandeur

Ordre de grandeur numérique

     

Calculez un ordre de grandeur de la norme de la force d'inertie d'entraînement et montrez qu'elle est négligeable (en toute rigueur cette force est intégrée dans la gravité). Montrez qu'en première approximation, on a un équilibre entre la force de Coriolis et la force de pression.

Finalement, montrez que la vitesse horizontale est donnée par la formule dite du vent géostrophique :

(4)