Mots clés : marée, onde, Lune

Les machines de lord Kelvin

Étienne Ghys

ENS Lyon - Unité de mathématiques pures et appliquées

Cyril Langlois

ENS Lyon - Préparation à l'agrégation SV-STU

Olivier Dequincey

ENS Lyon / DGESCO

02/05/2018

Résumé

Description et analyse du fonctionnement des machines conçues par William Thomson, premier baron Kelvin (1824–1907), pour mesurer puis analyser et prédire les marées, à l'aide de la décomposition du signal en séries de Fourier.


Transcription par Cyril Langlois de la présentation d'Étienne Ghys du 14 décembre 2015 à l'ENS de Lyon, donnée dans le cadre du cours pluridisciplinaire des écoles doctorales EPIC, PHAST et INFOMATH intitulé La Terre, sa forme, sa rotation, ses marées - Morceaux choisis mathématiques, géophysiques et historiques.

William Thomson (1824–1907)

Le physicien William Thomson, devenu baron ( lord ) Kelvin en 1892, s'intéressa à de nombreux domaines de la physique, notamment la thermodynamique (degré Kelvin, effet Joule-Thomson...). Il occupa une position éminente dans la science britannique (notamment comme président de la Royal Society de 1885 à 1890), corédigea un traité de physique mathématique de référence (Treatise on Natural Philosophy, 1867), et compta également parmi les opposants les plus sérieux à la théorie darwinienne, avançant des arguments physiques à l'encontre des idées de Darwin et du géologue Charles Lyell[1].

Cette situation en vue et l'abondance de ses publications l'amenèrent à quelques affirmations abondamment citées depuis par ses critiques, comme : « In science there is only physics; all the rest is stamp collecting » [2] [3].

Thomson eut une approche de la physique nettement orientée vers la pratique et l'expérimentation (« I can never satisfy myself until I can make a mechanical model of a thing » [4] -1884), ce qui le conduisit à divers travaux d'ingénieur. Il participa notamment à la pose d'un câble sous-marin transatlantique en 1865–1866 et, ce qui nous intéresse ici, conçut plusieurs instruments dédiés à l'étude des marées. Ces appareils venaient répondre aux trois problèmes posés à l'ingénieur par les marées : comment les mesurer, comment les analyser et comment les prévoir ?

Figure 1. Lord Kelvin (1824-1907) vers 1885


La mesure des marées et les marégraphes ( tide gauges )

La mesure des marées s'effectuait à l'époque de Thomson à l'aide d'un marégraphe (en anglais, tide gauge ). Thomson en conçoit un, représenté ci-dessous sur la figure 2, qu'il décrit, avec ses deux autres appareils, dans un article et une conférence de 1882 ; les variations de hauteur de l'eau, transmises par un flotteur de cuivre suspendu à une roue de platine, sont enregistrées par un stylet sur un tambour incliné, tournant régulièrement sur lui-même en 24 heures.

 

The floater is made of thin sheet copper, and is suspended by a fine platinum wire. The vertical motion of the floater, as the water rises and falls, is transmitted, in a reduced proportion by a single pinion and wheel, to this frame or marker, which carries a small marking pencil. The paper on which the pencil marks the recording curve, is stretched on this cylinder, which, by means of the clockwork, is caused to make one revolution every twenty-four hours. The leaning-tower-of-Pisa arrangement of the paper-cylinder, and the extreme simplicity of the connection between marker and floater, constitute the chief novelty. This tide gauge is similar to one now in actual use, recording the rise and fall of the water in the River Clyde, at the entrance to the Queen's Dock, Glasgow.

 
  --William Thomson, The Tides, Evening Lecture To The British Association At The Southampton Meeting, vendredi 25 août 1882

Figure 2. Schéma du marégraphe élaboré par Thomson



Figure 4. La station marégraphique de Marseille, vue en coupe


En France, c'est l'appareil installé à Marseille (figure 3) qui définit l'altitude zéro des cartes géographiques et géologiques.

Mais la contribution majeure de Kelvin porta sur deux autres appareils, l'analyseur et le prédicteur de marées, qui reposaient l'un comme l'autre sur le principe de la décomposition de l'onde de marée en une somme de fonctions sinusoïdales.

L'analyseur de marées ( harmonic analyser )

La marée en un lieu est une somme de fonctions sinusoïdales d'amplitudes et de déphasages distincts, dont les fréquences sont déterminées par les effets des différentes planètes et du Soleil.

u ( t ) = j α j cos ( ω j t ) + β j sin ( ω j t )

Si les fréquences ωj sont bien connues, les amplitudes ( αj , βj ) et les phases, elles, varient d'un endroit à l'autre et doivent être déterminés à partir de la mesure de la marée u(t) . L'appareil conçu par Kelvin, l'analyseur harmonique, décompose mécaniquement l'enregistrement marégraphique en une série d'harmoniques. Thomson décrit cet instrument dans un article de 1878[5].

L'appareil utilise un mécanisme conçu par James Thomson, le frère de William, le système disque-sphère-cylindre, par lequel le mouvement de rotation d'un disque vertical ou incliné est transmis à un cylindre horizontal par l'intermédiaire d'une boule roulant sur le disque et en contact avec le cylindre (figure 5) : plus la boule est éloignée du centre du plateau, plus la rotation qu'elle imprime au cylindre horizontal est rapide. Si la rotation du plateau est une fonction g(t) et le déplacement rectiligne de la boule par rapport au centre du disque une fonction f(t) , la rotation effectuée sur une durée ∆t par la surface de la boule, et donc par le cylindre, correspond à 0 Δt f ( t ) g ( t ) dt .

Le signal de la marée est enregistré sur un tambour en rotation. Le mouvement vertical de l'eau u(t) est converti en un mouvement horizontal des cardans auxquels sont suspendues les boules : f(t) = u(t). La rotation du tambour sur lequel est enregistré u(t) entraîne quant à lui les disques de l'appareil, chacun avec une vitesse en cos(ωjt) ou sin(ωjt) [6].

Ainsi, pour un disque tournant à la vitesse ωj , la boule effectue, par rapport au disque, le mouvement u(t) , et la rotation du cylindre correspond à 0 Δt u ( t ) cos ( ω j t ) dt , c'est-à-dire aux coefficients αj multipliés par ∆t . Chaque cylindre fournit ainsi l'un des coefficients de Fourier du signal.

Figure 5. Dessins descriptif du mécanisme de l'analyseur harmonique de Kelvin


Figure 6. Détail de deux plateaux de l'analyseur harmonique de Kelvin


Figure 7. Analyseur harmonique de Kelvin de 1878


Le prédicteur de marées ( tide predictor )

Une fois obtenus les coefficients de Fourier de la marée locale, la troisième machine de Thomson, lui, permet de reconstituer le signal, donc de prédire la marée. Le signal de marée est décrit comme une série infinie de cosinus.

u ( t ) = j α j cos ( ω j t + φ j )

L'appareil de Kelvin, représenté sur les figures 8 et 9, convertit le mouvement rotatif des pignons fixés à la manivelle en un mouvement vertical sinusoïdal, grâce au mécanisme schématisé sur la figure 10. L'éloignement du taquet inséré dans la gouge horizontale par rapport au centre de l'engrenage en rotation spécifie l'amplitude αj  ; la position de ce taquet au démarrage du mécanisme fixe la phase φj et la vitesse de rotation de l'engrenage correspond à ωj . Les mouvements verticaux sont finalement combinés sur l'enregistrement qui s'inscrit sur un tambour lui aussi mis en rotation par la manivelle, dont un tour représente 24 h (figure 11)[7].

Figure 8. Dessin d'ensemble du prédicteur de marées conçu par Kelvin en 1878-79


Figure 9. Prédicteur de marées de Kelvin à 10 composantes

Cet exemplaire a été construit en 1876 par A. Légé & Co.



Figure 11. Exemple de tracé par l'appareil de la composition de deux coefficients


Ces systèmes purement mécaniques resteront en usage jusque dans les années 1960, avant d'être définitivement remplacés par les calculateurs numériques puis les ordinateurs. C'est désormais dans les musées consacrés aux instruments scientifiques que l'on peut encore contempler quelques-unes de ces ingénieuses machines (figure 9).



[1] Kelvin contesta la théorie darwinienne, qui supposait une action très lente de la sélection naturelle, ainsi que les observations de Lyell qui nécessitaient de nombreuses dizaines de millions d'années pour déposer tous les sédiments connus, les plisser, pour faire des chaines de montagne. Or Kelvin, en supposant un refroidissement constant du globe depuis un état initial fondu à quelques milliers de degrés, et en appliquant les lois de la physique, avait calculé un âge de la Terre de 20 à 40 millions d'années seulement. C'est la découverte de la radioactivité qui permettra de réévaluer l'âge de la planète et de surmonter cette objection.

[2] En science, il n'y a que la physique ; tout le reste n'est que collecte de timbres.

[3] C'est également à Kelvin que l'on attribue l'aphorisme, supposé prononcé peu de temps avant les publications d'Einstein, mais très probablement apocryphe : « there is nothing new to be discovered in physics now, all that remains is more and more precise measurement » (« il n'y a plus rien à découvrir en physique, il ne reste qu'à mesurer de plus en plus précisément »). Cependant, en avril 1900, il déclara que seuls deux « sombres nuages » ( dark clouds ) assombrissait la physique classique : la constance de la vitesse de la lumière, et la loi du corps noir (relation entre température émise et longueur d'onde)... deux "nuages" abordés respectivement par Michelson et Planck qui aboutiront en 1905 aux textes d'Einstein sur la relativité.

[4] « Je ne suis satisfait qu'une fois que j'ai pu obtenir un modèle mécanique de quelque chose. »

[5] William Thomson, 1878. Harmonic Analyzer, Proceedings of the Royal Society of London, 27, 371-373.

[6] Ces descriptions du fonctionnement de l'analyseur et du prédicteur de marées s'inspirent largement des explications proposées par T. Phillips sur le site internet de l' American Mathematical Society ( Fourier Analysis of Ocean Tides II et Fourier Analysis of Ocean Tides III ).

[7] Une animation en Java du fonctionnement de l'appareil est disponible sur la page Fourier Analysis of Ocean Tides III (JAVA animation) .

Mots clés : marée, onde, Lune