La Terre ellipsoïdale ? Les ellipsoïdes et le géoïde

Frédéric Chambat

ENS Lyon – Laboratoire de Géologie de Lyon

Daphné Lemasquerier

Aix-Marseille Université – IRPHE

Olivier Dequincey

ENS Lyon / DGESCO

Delphine Chareyron

ENS Lyon / DGESCO

27/03/2019

Résumé

Quelle vision les géophysiciens et les géodésiens ont-ils de la forme de la Terre en 2019 ? Pour un géophysicien, la notion de “forme” de la Terre regroupe plusieurs concepts différents tels que le potentiel de pesanteur, le géoïde, la notion d'altitude. Détail de ces concepts et de leur mesure, quelques exemples de leur utilisation contemporaine ainsi que de leur suivi temporel.


Transcription par Daphné Lemasquerier et Frédéric Chambat de la présentation de Frédéric Chambat du 28 septembre 2015 à l'ENS de Lyon, donnée dans le cadre du cours pluridisciplinaire des écoles doctorales EPIC, PHAST et INFOMATH intitulé La Terre, sa forme, sa rotation, ses marées - Morceaux choisis mathématiques, géophysiques et historiques .

Surface topographique

La surface topographique est, de manière concrète, la surface sur laquelle on marche. Comment est définie l'altitude de cette surface ? On a choisi de définir l'altitude de manière énergétique, pour que l'eau coule vers le bas, c'est-à-dire vers les altitudes descendantes. Cela signifie que c'est le travail à fournir (contre la pesanteur) pour passer d'un point A à un point B qui indique la différence d'altitude entre ceux-ci (figure 1). Une surface d'altitude constante est donc horizontale, et par conséquent, en théorie, c'est une équipotentielle de pesanteur, c'est-à-dire une surface sur laquelle le potentiel de pesanteur est constant. L'une de ces surfaces est choisie comme référence de l'altitude, c'est celle qui coïncide avec le niveau moyen des océans. On l'appelle le géoïde . Pour se le représenter, Euler, à qui l'on doit cette dénomination, disait que le géoïde en un point est situé au niveau de l'eau d'un canal qu'on creuserait depuis la mer jusqu'à ce point. Ce géoïde définit donc l'altitude nulle, à laquelle sont (en ignorant les phénomènes de courants et marées) tous les océans. La différence d'altitude, Δz, entre deux points correspond donc à la différence de potentiel entre ces deux points, ΔW, normalisée par une valeur de pesanteur g , soit Δz = −ΔW / g.

Figure 1. Représentation des surfaces équipotentielles autour de la Terre

La forme grise représente la Terre solide dont les déformations sont volontairement exagérées, la forme bleue représente les océans. Les tirets représentent les surfaces où le potentiel de pesanteur est constant. La surface équipotentielle qui coïncide avec le niveau moyen des océans est le géoïde. Les points A et B sont situés sur deux surfaces équipotentielles différentes, ils ne sont donc pas à la même altitude puisqu'il faut fournir un travail contre la pesanteur pour passer du point A au point B.


Notons qu'on ne peut pas définir l'altitude pour qu'elle soit à la fois indépendante du chemin suivi (notion de potentiel) et qu'elle respecte les distances géométriques, parce que les équipotentielles ne sont pas parfaitement parallèles. Ainsi, si une mesure de différence de potentiel est sans ambigüité, il se pose la difficulté de la conversion en une hauteur. Il existe pour cela différents modèles de conversion, comme ceux où l'on normalise par une valeur de pesanteur constante ou ceux où l'on normalise par une valeur variable en fonction de la région pour se rapprocher de la géométrie réelle. En terme de cartographie, le système utilisé varie. En pratique, les différences d'altitude (altitude “normale”, “orthométrique”, etc) entre ces systèmes sont de l'ordre de quelques centimètres, ce qui peut poser problème lorsqu'on veut travailler avec une grande précision. Contrairement à ce que l'on pourrait penser, l'altitude n'a donc pas un lien univoque avec la distance au centre de la Terre, n'en déplaise aux Équatoriens (figure 2). L'Équateur possède en effet le sommet le plus éloigné du centre de la Terre (6384,687 km pour le Chimborazo, contre 6382,467 km pour l'Everest), mais n'est pas pour autant le plus haut sommet du monde (6263 m, contre 8848 m pour l'Everest) au sens des géodésiens (cf. Gravimétrie et géodésie : principes, applications ).

Figure 2. Plaque apposée au pied du Chimborazo (6263 m) en Équateur qui indique que son sommet est le point le plus éloigné du centre de la Terre

Pour autant, en terme d'altitude, l'Everest est plus haut (8848 m).


Mesure de l'altitude par nivellement

L'altitude est en pratique mesurée de proche en proche, en mesurant des différences de hauteur par rapport à l'horizontale locale. Le principe est détaillé sur la figure 3. Pour ensuite réaliser des cartes topographiques, on utilise la méthode de triangulation. Par exemple, sur le territoire français, on dispose de 60 000 bornes pour lesquelles on connait avec précision l'altitude (déterminée par nivellement). Pour compléter l'ensemble du territoire et réaliser des cartes, on utilise des photographies aériennes et on applique de la stéréoscopie en s'appuyant sur les points de mesure sur le terrain.

Figure 3. Mesure de la différence d'altitude entre deux points A et B proches par nivellement

Les verticales sont matérialisées par des fils à plomb, et les horizontales par des niveaux à bulle. En A, une lunette de visée permet de repérer une différence de hauteur et ainsi de mesurer la différence d'altitude H entre A et B. Les mesures se font ainsi de proche en proche.


Mesure du géoïde et de la pesanteur

Pour connaitre la forme du géoïde, il suffit de connaitre le potentiel de pesanteur W. Mais le potentiel n'est pas directement accessible et une alternative consiste à déterminer la gravité partout à la surface. En effet, W étant un potentiel harmonique, il existe des relations théoriques entre W et g qui ont pour conséquence que si on connait l'une des deux fonctions à la surface de la Terre, alors on peut en déduire l'autre. Cette idée est “analogue” avec la possibilité de déduire l'altitude d'une connaissance globale de la pente, et vice-versa (cf. Gravitation, pesanteur ).

Gravimètres (mesure de la pesanteur)

Pour mesurer localement la pesanteur, on utilise des gravimètres, dont on distingue plusieurs types :

  • les gravimètres relatifs. On mesure les variations d'allongement d'un ressort auquel est suspendu une masse. Leur précision est ≈ 10−6 m.s−2.
  • les gravimètres absolus. On mesure le temps de chute d'un coin de cube par interférométrie laser. Précision ≈ 10−7 m.s−2.
  • les gravimètres (absolus) à supraconducteur. On y maintient en lévitation une bille supraconductrice en compensant la pesanteur par un champ magnétique. Précision ≈ 10−8 m.s−2. On peut détecter l'influence d'un homme présent à 2 m du gravimètre !

Les gravimètres ne permettent cependant pas une couverture homogène et globale de la Terre. On complète donc ces données avec des mesures effectuées par des satellites artificiels.

Altimétrie satellitaire (mesure de la gravité)

La première de ces méthodes utilise des satellites dits altimétriques (figure 4). Le principe est détaillé en figure 5 : un faisceau radar est envoyé jusqu'à la surface de l'océan où il se réfléchit jusqu'au satellite. On mesure son temps d'aller-retour et on en déduit la distance altimétrique. Des stations fixes sur Terre et des systèmes de positionnement par satellites (GPS) donnent la position exacte du satellite par rapport au centre de la Terre. On connait ainsi la position de la surface de l'océan. En soustrayant les effets des courants et des marées (topographie dynamique), on obtient la position du géoïde par rapport au centre de la Terre.



Un exemple de résultat est donné en figure 6 : on y représente la hauteur du géoïde par rapport à l'ellipsoïde de référence. On remarque que le géoïde fournit une image des structures caractéristiques du plancher océanique : on peut clairement suivre les dorsales, les failles transformantes associées, et localiser le point triple de Rodrigues. La topographie sous-marine induit un relief à la surface de l'eau. Cela s'explique simplement par le fait qu'une équipotentielle de pesanteur fait une “bosse” au-dessus d'une anomalie de masse positive (donc notamment un relief) comme le montre le schéma de la figure 6.

Figure 6. Détail de la hauteur de la surface moyenne océanique en mètres : on voit l'influence des dorsales dans l'Océan Indien, près de Madagascar

Le schéma à droite explique l'effet d'un relief sous-marin comme une dorsale sur le géoïde. En terme d'ordre de grandeur, un relief de l'ordre du kilomètre engendre une bosse de l'ordre du mètre sur le géoïde.

Modèle issu des données des satellites Geosat, Topex-Poseidon, ERS-1 et ERS-2.


Satellites géodésiques

Une deuxième méthode de mesure du géoïde utilise les satellites géodésiques (figure 7). Ces satellites sont recouverts de réflecteurs en forme de coins de cube. On les vise au laser depuis la Terre, et en mesurant le temps d'aller-retour du faisceau laser, on obtient la distance station-satellite. On mesure cette distance pendant toute la trajectoire du satellite. Cela donne alors l'accélération du satellite, et l'attraction gravitationnelle le long de sa trajectoire. En la prolongeant vers le bas, on en déduit les variations spatiales du géoïde à de grandes échelles.

Figure 7. Le satellite géodésique Lageos


Des exemples de résultats finaux sont donnés sur la figure 8. La Terre est quasiment ellipsoïdale et on peut donc la considérer, à peu de choses près, comme un fluide parfait en rotation : les variations du géoïde n'excèdent pas ±100 m. La première caractéristique qu'on remarque est l'absence de corrélation entre ces variations et les transitions océans-continents. La différence de densité entre l'eau et les roches de la lithosphère continentale devrait en théorie se traduire par une anomalie de l'ordre de 300 mGal. Comme on ne l'observe pas, on en déduit qu'il y a compensation en profondeur de l'excès de masse que constituent les continents par rapport aux océans : c'est l'isostasie. La croute continentale est plus épaisse que la croute océanique (figure 9).

Figure 8. Données de surface : pesanteur à l'altitude 0 et hauteur du géoïde

En haut : variation de pesanteur à l'altitude 0, en milliGal (1 mGal = 10−5 m. s−2).

En bas : hauteur du géoïde par rapport à l'ellipsoïde, en mètres.


Figure 9. Isostasie et compensation de masse en profondeur

En A : excès de masse de croute par rapport à l'eau compensée par une épaisseur de croute plus grande (défaut de masse dans le manteau).

En B : excès de masse de la chaine de montagnes compensée par la racine crustale en profondeur (défaut de masse dans le manteau).


De même, les anomalies positives visibles au niveau des grandes chaines de montagnes comme l'Himalaya ou les Andes montrent qu'ici la compensation isostatique n'est pas complète. L'anomalie observée est de 50 mGal, au lieu de 500 mGal si l'on n'avait pas de compensation (figure 8). Enfin, les anomalies négatives au niveau du bouclier canadien résultent d'une absence d'équilibre due à la dernière glaciation. Cette région était auparavant recouverte d'une calotte de glace épaisse de plus de 3 km. Sur une période de 10 000 ans, cette calotte a fondu, pour finalement complètement disparaitre il y a 10 000 ans. Il s'est alors produit une relaxation élastique de la lithosphère, analogue à ce qui se passe quand on appuie sur une surface élastique (gâteau, éponge...) : la pression appliquée crée une dépression, puis quand on cesse d'appuyer, la surface revient à sa position normale. Il se passe la même chose quand la glace, qui constituait un poids conséquent, fond, à ceci près que la relaxation se produit sur une échelle de temps très longue (environ 10 000 ans). Actuellement, le rebond post-glaciaire n'est pas encore achevé : le fléchissement de la lithosphère persiste encore en partie.

Mesures récentes : suivis temporels

Mesures de variations temporelles périodiques

De 2002 à 2005, les satellites GRACE ( Gravity Recovery and Climate Experiment ) et LAGEOS ( Laser Geodynamics Satellites ) ont été utilisés pour estimer le géoïde pendant 3 ans, tous les 10 jours. L'un des résultats est que tous les ans à la même période, une anomalie positive du géoïde se développe sur l'Inde (figure 10) : il s'agit de l'effet gravitationnel de la mousson ! Ce type de résultats a révolutionné l'hydrogéologie, et a notamment engendré la naissance de modèles permettant de quantifier l'influence de différents phénomènes sur le géoïde (circulation océanique, pression atmosphérique, enneigement des calottes, humidité du sol, etc).

Figure 10. Variations de hauteur du géoïde par rapport à l'ellipsoïde mesurées par GRACE et LAGEOS

Les 3 images sont extraites de l'année 2005, le point rouge sur l'échelle du haut indique à quelle période de l'année correspond l'image.


Principe physique de la mesure de gravité réalisée par les satellites GRACE

Le principe de la mesure réalisée par ces deux satellites est remarquable dans le sens où la mesure n’est pas réalisée sous la forme d’une communication entre un satellite et la Terre, mais par une communication entre les deux satellites volant en tandem.

Les deux satellites se déplacent sur une même orbite à 500 km d’altitude et sont séparés d’une distance évoluant entre 150 et 300 km. Lorsqu’un satellite survole une région où la gravité est un peu plus importante, il est attiré par la modification du champ de gravité et la distance avec le satellite qui le suit est modifiée.

Les deux satellites s’envoient en permanence des trains d’ondes électromagnétiques permettant de déterminer la distance les séparant avec une précision micrométrique. Cette distance qui les sépare peut varier de quelques dizaines de mètres sous l'influence des irrégularités du champ de pesanteur dans lequel ils évoluent.

En mesurant de manière continue ces modifications de distance, il est possible de reconstituer des cartes détaillées du champ de gravité terrestre.

Mesures de tendances

On s'intéresse aussi aux variations non périodiques du potentiel de pesanteur, sur plusieurs années, variations qu'on approxime souvent par une tendance linéaire.

Exemple 1 : fonte de glace. La figure 11 montre le résultat d'une étude de variation linéaire du géoïde de 2002 à 2006. Les mesures du géoïde ont été traduites en perte de masses d'eau. Les grandes zones bleues témoignent de la fonte de glace.


Exemple 2   variations du niveau marin. La mesure du niveau moyen des océans par altimétrie intègre deux facteurs principaux de variation de ce niveau : l'effet stérique (effet de la température et de la salinité sur le volume des océans) et les variations de masse (apport d'eau douce, notamment par la fonte des glaciers). En combinant des mesures altimétriques (effet total) et des mesures satellitaires de gravité (changement de masse), on peut en déduire les variations stériques moyennées sur les océans. Lombard et al. (2007 [2]) ont notamment analysé ces fluctuations sur plusieurs années (figure 12). Ils obtiennent ainsi une augmentation du niveau stérique de 2002 à 2006 (courbes noire et rouge inférieures), d'une valeur comparable à celle obtenue de 1993 à 2003 via des estimations in situ réalisées à partir de mesures de température de l'océan (courbe verte). Par contre, de 2002 à 2006, les mesures in situ divergent complètement de ce qui a été calculé, avec une baisse du niveau stérique. Cette non-adéquation n'est pas encore expliquée, elle pourrait provenir d'un mauvais échantillonnage lors de mesures de température.

Figure 12. Variations du niveau des océans à la surface de la Terre au cours du temps

Courbe bleue : variation (totale) mesurée par altimétrie. Courbes noires et rouges supérieures : variation résultant d'apport de masse, mesurées par gravimétrie. La couleur rouge ou noir désigne les deux lots de données utilisés. Courbe verte : variation liée à l'effet stérique obtenue d'après les données de température globale l'océan de Ishii et al. (2006 [1]). Courbes noires et rouges inférieures : variations obtenues en soustrayant aux données d'altimétrie (courbe bleue) les variations dues aux apports de masse (courbes noires et rouges supérieures).


Exemple 3 : rebond post-glaciaire dans la baie d'Hudson. On a vu plus haut que le rebond post-glaciaire au niveau de la baie d'Hudson, au Canada, induit des anomalies négatives de gravité. Les observations du satellite GRACE permettent d'observer la variation temporelle actuelle de ces anomalies de gravité. Ces mesures montrent une variation temporelle de gravité positive sur une large région couvrant la baie d'Hudson, avec un maximum à environ 2,5.10−6 Gal par an, ce qui, selon Paulson et al. (2007 [4]) est en accord avec l'hypothèse du rebond post-glaciaire comme origine du changement de gravité.

Figure 13. Variation de gravité mesurée par GRACE au niveau de la baie d'Hudson (10−6 Gal par an)


Mesures d'évènements ponctuels

Panet et al. (2007 [3]) ont étudié les signaux de gravité co-sismiques et post-sismiques associés au séisme de Sumatra du 26 décembre 2004 (magnitude 9,2). Ils utilisent pour cela les mesures du satellite GRACE, et procède par une analyse d'ondelettes pour retrouver la signature du tremblement de terre sur le géoïde. Ils mettent ainsi en évidence un baisse significative du géoïde dans la mer d'Andaman. La figure 14 montre le signal global (co- et post-sismique) enregistré, puisqu'il s'agit d'une moyenne sur 9 mois. La modification locale du géoïde qui apparait vient du fait qu'après le séisme, le sol reste déformé. Ici, un différentiel de 34 cm sur le niveau du sol implique une variation de 8 mm sur le géoïde.

Figure 14. Variations de hauteur du géoïde (∆H) entre deux années consécutives, à une échelle spatiale de l'ordre de 500 km, et moyennées sur 9 mois

À gauche : entre 2004 et 2003. À droite : entre 2005 et 2004.

La figure de gauche sert uniquement à donner une idée du niveau de bruit enregistré (pas de séisme important entre 2003 et 2004). Aucune anomalie n'est observée dans le mer d'Andaman, alors que sur la figure de droite oui. Nous ne donnons pas l'échelle du géoïde car peu significative ici puisqu'il s'agit d'un coefficient d'une analyse en ondelettes, mais pour fixer les idées on peut se rappeler que la variation de hauteur locale du géoïde a été de 8 mm.


Bibliographie

M. Ishii, M. Kimoto, K. Sakamoto, S.-I. Iwasaki. 2006. Steric sea level changes estimated from historical ocean subsurface temperature and salinity analyses , Journal of oceanography, 62, 2, 155–170 [ pdf ]

A. Lombard, D. Garcia, G. Ramillien, A. Cazenave, R. Biancale, J.-M. Lemoine, F. Flechtner, R. Schmidt, M. Ishii, 2007. Estimation of steric sea level variations from combined GRACE and Jason-1 data , Earth and Planetary Science Letters, 254, 1-2, 194–202 [ pdf ]

I. Panet, V. Mikhailov, M. Diament, F. Pollitz, G. King, O. De Viron, M. Hol- schneider, R. Biancale, J.-M. Lemoine, 2007. Coseismic and post-seismic signatures of the Sumatra 2004 december and 2005 march earthquakes in GRACE satellite gravity , Geophysical Journal International, 171, 1, 177–190 [ pdf ]

A. Paulson, S. Zhong, J. Wahr, 2007. Inference of mantle viscosity from GRACE and relative sea level data , Geophysical Journal International, 171, 2, 497–508 [ pdf ]